सेट की कार्डिनल संख्या की गणना कैसे करें

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कार्डिनैलिटी की हमारी आधुनिक समझ 1890 के दशक में जॉर्ज कैंटर के काम से आती है। सेट में तीन प्रकार के कार्डिनल हो सकते हैं: परिमित, गणनीय और बेशुमार। परिमित सेटों में एक विशिष्ट संख्या निर्दिष्ट हो सकती है, जैसे कि उनकी कार्डिनैलिटी: सेट में वस्तुओं की संख्या। दोनों अनगिनत और अनगिनत सेट अनंत हैं। कैंटर पहला गणितज्ञ था जो बताता है कि अनंत सेट की विशेषता यह है कि इसे एक-से-एक पत्राचार में डाला जा सकता है, अपने स्वयं के सबसेट के साथ।

दिशाओं

इन्फिनिटी लगता है की तुलना में अधिक जटिल है (फिल एशले / लाइफसाइज़ / गेटी इमेजेज़)

1. यदि यह परिमित है, तो कार्डिनैलिटी के एक सेट के लिए एक विशिष्ट संख्या दें। इन सेटों के लिए, कार्डिनैलिटी इसके भीतर की वस्तुओं की संख्या है। अनंतता के लिए, कार्डिनलिटी के लिए एक विशिष्ट संख्या को नामित करना असंभव है - हम केवल एक वर्णनात्मक शब्द का उपयोग कर सकते हैं। एक सेट का सबसेट वह होता है जिसमें कुछ होते हैं - लेकिन सभी नहीं - सेट संख्याओं का, लेकिन कोई भी ऐसा नहीं है जो इसके भीतर नहीं है। उदाहरण के लिए, पुर्तगाली वर्णमाला में अक्षरों का एक सबसेट "केला" शब्द के अक्षर हैं। परिमित सेटों के लिए, समुचित उपसमूह सेट की तुलना में छोटे होते हैं। जो अनंत सेटों के लिए सही नहीं है।

2. सेट के एक विशिष्ट तत्व के साथ शुरू करें और एक सेट के सभी तत्वों की गणना करने के लिए, हमेशा एक विशिष्ट तरीके से रखें। यह एक अनंत सेट के लिए लेखांकन की परिभाषा है। मुख्य विशेषता यह है कि सभी तत्वों को अनंत काल तक सूचीबद्ध करने के लिए एक एल्गोरिदम है। चापलूसी गणना योग्य अनंत सेट पूर्णांक का है। "एक" से शुरू करें और अगले अनुक्रमिक संख्या के साथ जारी रखें। आप कार्डिनलिटी नंबर नहीं दे सकते, आप केवल यह कहेंगे कि यह शाश्वत है। ध्यान दें कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए एक समान सम संख्या होती है जो दो बार बड़ी होगी। जितने भी पूर्णांक हैं उतने ही संख्याएँ भी हैं। सेट के बीच एक-से-एक मैच होता है और उस सेट का एक उचित सबसेट होता है।

   
   

3. शून्य और एक के बीच की संख्या के साथ एक सेट की तुलना करें, यह देखने के लिए कि क्या यह अनगिनत अनंत है। आप उन्हें गिनना शुरू नहीं कर सकते क्योंकि शून्य और एक के बीच की संख्या के बाद कोई "अगला" नंबर नहीं है। कैंटर ने अनगिनत सेटों: बिंदुओं और रेखाओं की सहज समझ के साथ मदद करने के लिए एक उदाहरण दिया। बिंदु लंबे या चौड़े नहीं होते हैं, भले ही एक रेखा बिंदुओं से बनी हो। यदि रेखाएँ बिंदुओं की अनंतता हैं, तो रेखा की लंबाई 0 + 0 + 0 और इसी तरह, हमेशा के लिए होगी। लाइनों में अंकों की एक बेशुमार संख्या होनी चाहिए।

युक्तियाँ

• कैंटर परीक्षण यह देखने के लिए है कि क्या दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी है, यदि सेट के तत्वों को एक-दूसरे के साथ एक-एक करके मिलान किया जा सकता है।

चेतावनी

• अंकगणित केवल परिमित सेट के लिए काम करेगा। यदि N, दोनों गणनीय और अनगिनत अनंत है, N + 1 = 200N = N + N = N।